Solution: Let $\lVert au + bv \rVert = \lVert av + bu \rVert $ for all $a,b\in \mathbb{R} $. Take $a = 1$ and $b = 0$. Then, \[ \lVert u \rVert = \lVert v \rVert . \] On the other hand, let $\lVert u \rVert \lVert v \rVert $ and $a,b\in \mathbb{R}$ be given. We need to prove that $\lVert au + bv \rVert = \lVert av + bu \rVert $. Consider \begin{align*} \lVert au + bv \rVert ^2 & = \left\langle au + bv, au + bv \right\rangle \\ & = a^2\lVert u \rVert^2 + 2ab \left\langle u,v \right\rangle + b^2 \lVert v \rVert^2 \\ & = a^2 \lVert v \rVert ^2 + 2ab\left\langle u,v \right\rangle + b^2 \lVert u \rVert^2 \\ & = \left\langle av + bu, av + bu \right\rangle \\ & = \lVert av + bu \rVert ^2 . \end{align*} Since both are non-negative, we have, \[ \lVert au + bv \rVert = \lVert av + bu \rVert . \]